Enunciado

Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das coordenadas x dos pontos de intersecção das curvas indicadas. A seguir, encontre a área aproximada da região delimitada pelas curvas.

y = 3 x 2 - 2 x ,   y = x 3 - 3 x + 4

Passo 1

Bom galera, vamos primeiro plotar o gráfico com as curvas que nos foi dada:

y = 3 x 2 - 2 x ,   y = x 3 - 3 x + 4 .

Ele fica com essa “carinha”:

Aqui, para este gráfico, foi utilizado o programinha GeoGebra.

Passo 2

A partir do gráfico, vemos que as curvas se cruzam em:

x = a ≈ - 1,11 x = b ≈ 1,25 x = c ≈ 2,86 ,

com x 3 - 3 x + 4 > 3 x 2 - 2 x   em ( a , b ) e 3 x 2 - 2 x > x 3 - 3 x + 4   em ( b , c ) .

Passo 3

Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é:

A = ∫ a b x 3 - 3 x + 4 - 3 x 2 - 2 x d x + ∫ b c ( 3 x 2 - 2 x - ( x 3 - 3 x + 4 ) ]   d x

A = ∫ a b x 3 - 3 x 2 - x + 4 d x + ∫ b c - x 3 + 3 x 2 + x - 4 d x

A = 1 4 x 4 - x 3 - 1 2 x 2 + 4 x a b + - 1 4 x 4 + x 3 + 1 2 x 2 - 4 x b c

Substituindo os valores, temos que a área é:

≈ 8,38

Resposta

≈ 8,38

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