Enunciado

Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Temos que D será a região delimitada pela circunferência C , onde a mesma está centrada em ( 3 , - 4 ) e de raio r = 2 . Temos também que a curva C está orientada no sentido horário, logo para termos na orientação positiva temos que usar – C . Aplicando o teorema de Green, temos que

∫ - C F → ⋅ d r → = - ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= - ∫ ∫ D ∂ ∂ x x ⋅ sin ⁡ y - ∂ ∂ y y - cos ⁡ y ⋅ d A =

= - ∫ ∫ D sin ⁡ y - 1 - sin ⁡ y ⋅ d A = ∫ ∫ D d A = A c i r c u n f e r ê n c i a = π ⋅ r 2 = π ⋅ 2 2 = 4 ⋅ π

Resposta

∫ - C F → ⋅ d r → = 4 ⋅ π

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