Enunciado

Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Vamos fixar x e variar o y . Temos que a região fechada D é delimitada superiormente por y = cos ⁡ x e inferiormente por y = 0 . Assim, temos que nossos intervalos serão - π 2 ≤ x ≤ π 2 e 0 ≤ y ≤ cos ⁡ x . Pela ordem dos pontos, percebemos que a curva C está orientada no sentido horário, logo para integrarmos no sentido positivo, precisamos de – C . Substituindo na integral e aplicando teorema de Green, temos que

∫ - C F → ⋅ d r → = - ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= - ∫ ∫ D ∂ ∂ x e - y + x 2 - ∂ ∂ y e - x + y 2 ⋅ d A =

= - ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x ( 2 ⋅ x - 2 ⋅ y ) ⋅ d y ⋅ d x =

= - ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x 2 ⋅ x - 2 ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x = - ∫ - π 2 π 2 2 ⋅ x ⋅ y - 2 ⋅ y 2 2 0 cos ⁡ x ⋅ d x =

= - ∫ - π 2 π 2 2 ⋅ x ⋅ cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x ⋅ d x = - ∫ - π 2 π 2 2 ⋅ x ⋅ cos ⁡ x - 1 2 ⋅ 1 + cos ⁡ 2 ⋅ x ⋅ d x =

Fazendo integral por partes, para o primeiro termo, vamos chegar que

= - 2 ⋅ x ⋅ sin ⁡ x + 2 ⋅ cos ⁡ x - 1 2 ⋅ x + 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ x - π 2 π 2 = - π - 1 4 ⋅ π - π - 1 4 ⋅ π = 1 2 ⋅ π

Resposta

∫ - C F → ⋅ d r → = 1 2 ⋅ π

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