Calcule a integral ∫   2 c o s x 1 2   s e n x   d x

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = cos ⁡ x   ⟹ d u = - s e n x   d x ⟹ - d u = s e n x   d x  

Passo 2

Substituindo,

∫ 2 c o s x 1 2   s e n x   d x = ∫ 2     u 1 2   s e n x   d x = ∫ 2   u 1 2 - d u  

Passo 3

Retirando as constantes da integral,

∫ 2   u 1 2 - d u   =   - 2 ∫   u 1 2   d u

Passo 4

Resolvendo a integral,

- 2 ∫   u 1 2   d u =   - 2 ⋅ u 3 2 3 2 =   - 4 3 u 3 2 + C

Passo 5

Retornando a variável inicial,

- 2 ⋅ u 3 2 3 2 + C =   - 4 3 u 3 2 + C =   - 4 3 cos 3 2 ⁡   x + C

Resposta

∫   2 c o s x 1 2   s e n x   d x = - 4 3 cos 3 2 ⁡   x + C  

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