Calcule a integral

∫ sec ⁡ x d x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ sec ⁡ x d x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

Aqueles que estudaram bastante derivadas de funções trigonométricas já devem ter percebido a mudança de variáveis que devemos fazer. Aqueles que não perceberam, basta ter um “feeling”. Vamos derivar a função abaixo.

ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x ' = 1 sec ⁡ x + tg ⁡ x ⋅ sec ⁡ x + tg ⁡ x '

ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x ' = 1 sec ⁡ x + tg ⁡ x ⋅ ( sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x )

ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x ' = sec ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x ⋅ ( sec ⁡ x + tg ⁡ x )

ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x ' = sec ⁡ x

Perceberam já aonde queremos chegar? Se fizermos uma mudança de variáveis, chamar u = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x , consequentemente, temos d u = sec ⁡ x d x . Fazendo esta substituição, obtemos a seguinte integral indefinida.

∫ sec ⁡ x d x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x = ∫ d u u = ∫ u - 1 / 2 d u

Agora, conseguimos uma função facilmente integrável.

Passo 3

Portanto, temos que resolver a integral indefinida acima. Desta forma, temos:

∫ u - 1 / 2 d u = 2 u 1 / 2 + k = 2 u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

2 u + k = 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte resolução:

∫ sec ⁡ x d x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x = 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k ! Como estamos resolvendo uma integral indefinida, não podemos esquecer dele viu!

Resposta

∫ sec ⁡ x d x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x = 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + k

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