Enunciado

Calcule a integral

int (sec x d x)/(sqrt(ln (sec x + tg x)))

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (sec x d x)/(sqrt(ln (sec x + tg x)))

Aqueles que estudaram bastante derivadas de funções trigonométricas já devem ter percebido a mudança de variáveis que devemos fazer. Aqueles que não perceberam, basta ter um “feeling”. Vamos derivar a função abaixo.

[ln (sec x + tg x)]^' = (1)/(sec x + tg x) * [sec x + tg x] '

[ln (sec x + tg x)]^' = (1)/(sec x + tg x) * ( sec x tg x + sec^2 x )

[ln (sec x + tg x)]^' = (sec x)/(sec x + tg x) * ( sec x + tg x )

[ln (sec x + tg x)]^' = sec x

Perceberam já aonde queremos chegar? Se fizermos uma mudança de variáveis, chamar u = ln (sec x + tg x) , consequentemente, temos d u = sec x d x . Fazendo esta substituição, obtemos a seguinte integral indefinida.

int (sec x d x)/(sqrt(ln (sec x + tg x))) = int (d u)/(sqrt(u)) = int u^(- 1 // 2) d u

Agora, conseguimos uma função facilmente integrável.

Passo 3

Portanto, temos que resolver a integral indefinida acima. Desta forma, temos:

int u^(- 1 // 2) d u = 2 u^(1 // 2) + k = 2 sqrt(u) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

2 sqrt(u) + k = 2 sqrt(ln (sec x + tg x)) + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte resolução:

int (sec x d x)/(sqrt(ln (sec x + tg x))) = 2 sqrt(ln (sec x + tg x)) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k ! Como estamos resolvendo uma integral indefinida, não podemos esquecer dele viu!

Resposta

int (sec x d x)/(sqrt(ln (sec x + tg x))) = 2 sqrt(ln (sec x + tg x)) + k

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