Calcule a integral :

∫ x 1 + x   d x

Passo 1

Fala ai!!Temos que resolver essa integral. Então vamos fazer uma substituição para facilitar nossos cálculos, beleza?

Vamos chamar de u =   x   → d u =   d x 2 x d x

∫ x 1 + x   d x = ∫ u 2 2 u   d u 1 + u =   ∫ 2 u 3 1 + u     d u = 2 ∫ u 3 1 + u   d u

Passo 2

Agora, vamos fazer outra substituição:

v = 1 + u   → d v = d u

∫ v - 1 3 v   d v =   ∫ v 3 - 3 v 2 + 3 v - 1 v   d v =   ∫ v 2 - 3 v + 3 -   1 v   d v

= v 3 3 -   3 2 v 2 + 3 v - ln ⁡ v

Passo 3

Bom, você percebeu que fizemos duas substituições, certo? Agora, precisamos voltar para a variável inicial. Façamos:

= v 3 3 -   3 2 v 2 + 3 v - ln ⁡ v =   1 + u 3 3 - 3 2 1 + u 2 + 3 1 + u - ln ⁡ ( 1 + u )

= 1 +   x 3 3 -   3 2 1 + x 2 + 3 ( 1 + x ) - ln ⁡ ( 1 +   x )

Resposta

∫ x 1 + x   d x = 1 +   x 3 3 -   3 2 1 + x 2 + 3 ( 1 + x ) - ln ⁡ ( 1 +   x )  

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