Enunciado

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(3)) (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

int_0^((pi)/(3)) (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em [a , b] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F^' = f .

Lembre-se também que:

int sen theta d theta = - cos theta + C

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos obter a integral indefinida da função. Mas antes, vamos simplificar um pouco a nossa expressão.

Colocando o seno em evidência, temos:

int (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = int (sen theta (1 + tg^2 theta))/(sec^2 theta) d theta

Sabemos que sec^2 theta = 1 + tg^2 theta , logo:

int (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = int (sen theta sec^2 theta)/(sec^2 theta) d theta

Simplificando os termos do numerador e do denominador, temos:

int (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = int sen theta d theta

Resolvendo a integral indefinida:

int (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = - cos theta + C

Passo 3

Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

int_0^((pi)/(3)) (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = [- cos theta + C] ((pi)/(3))/(0)

int_0^((pi)/(3)) (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = [- cos (pi)/(3) + C] - [- cos 0 + C]

int_0^((pi)/(3)) (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = - (1)/(2) + 1

int_0^((pi)/(3)) (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = (1)/(2)

Resposta

int_0^((pi)/(3)) (sen theta + sen theta tg^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = (1)/(2)

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