Enunciado

Calcule a integral.

int_(- 10)^(10) (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

int_(- 10)^(10) (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em [a , b] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F^' = f .

Lembre-se também que:

int d u = u + C

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Antes de calcular a integral indefinida, vamos simplificar um pouco a nossa expressão.

Para isso, sabemos que:

senh x = (e^x - e^(- x))/(2)

E

cosh x = (e^x + e^(- x))/(2)

Assim, substituindo na integral e simplificando, obtemos:

int (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = int (2 e^x)/((e^x - e^(- x))/(2) + (e^x + e^(- x))/(2)) d x

int (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = int (2 e^x)/((2 e^x)/(2)) d x

int (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = int 2 d x

Resolvendo a integral indefinida, temos:

int (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = 2 x + C

Passo 3

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

int_(- 10)^(10) (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = [2 x + C] (10)/(- 10)

int_(- 10)^(10) (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = [2 (10) + C] - [2 (- 10) + C]

int_(- 10)^(10) (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = 20 + 20

int_(- 10)^(10) (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = 40

Resposta

int_(- 10)^(10) (2 e^x)/(senh x + cosh x) d x = 40

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

int_0^2 √ 2 x ( sqrt(x) + √ 5 ) d x
int_(pi // 4)^((3 pi)/(4)) s e n x c o s x d x
int_0^((pi)/(2)) (c o s x)/((1 + s e n x)^5) d x
int_1^2 (5 x^3 + 7 x^2 - 5 x + 2)/(x^2) d x
Verificar se o resultado das seguintes integrais é postivo, negativo ou zero, sem calculá-las. ∫ 2 3 ( 2 x + 1 ) d x