∫ 0 2 √ 2 x ( x + √ 5 )   d x  

Passo 1

Uma dica muito boa para integrais que tem fatores elevados a 1/2 é fazer uma substituição chamando o fator com a raíz de uma letra, por exemplo:

u   =   x ⟹ u 2 = x

Derivando com relação a x a equação acima

d u d x = d ( x ) d x = 1 2 √ x ⟹ d u = 1 2 x d x   ⟹ d x = 2 u d u

Passo 2

Substituindo na nossa integral

∫ x = 0 x = 2 2 u 2 u + 5 2 u d u =   2 2 ∫ x = 0 x = 2 ( u 4 + 5 u 3 ) d u  

Usando uma propriedade importantíssima

∫ b a f x + g ( x ) d x = ∫ b a f ( x ) d x +   ∫ b a g ( x ) d x

∫ x = 0 x = 2 2 u 2 u + 5 2 u d u = 2 2 ∫ x = 0 x = 2 u 4 d u   +   2 2 ∫ x = 0 x = 2 5 u 3 d u   =

= 2 2 u 5 5 + 5 u 4 4

Passo 3

Retornando a nossa variável inicial

∫ 0 2 √ 2 x ( x + √ 5 )   d x = 2 2 u 5 5 + 5 u 4 4 = 2 2 ( x ) 5 5 + 5 x 4 4 ​ 0 → 2 = 16 5 + 2 10

Resposta

∫ 0 2 √ 2 x ( x + √ 5 )   d x = 16 5 + 2 10

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