Enunciado

Determine o valor exato de ∬ S x 2 y z   d S , onde S é a superfície z = x y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Devemos lembrar que d S é um diferencial de superfície que pode ser escrito como

d S = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

E que nossa integral pode ser resumida da seguinte forma

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

Passo 2

Desta forma podemos reescrever nossa integral da seguinte forma

∬ S x 2 y z   d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 y x y y 2 x 2 + 1 d x d y

Usando um sistema de computação algébrico temos que nossa integral é definida em

≈ 1 60 3 - 1 12 ln ⁡ 1 + 3 - 1 192 ln ⁡ 2 + 1 + 317 2880 2 + 1 24 ln ⁡ 2

Resposta

1 60 3 - 1 12 ln ⁡ 1 + 3 - 1 192 ln ⁡ 2 + 1 + 317 2880 2 + 1 24 ln ⁡ 2

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