Enunciado

Avalie a integral de superfície ∬ F . d S para o campo vetorial F e a superfície S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F x , y , z = x i + y j + z 2 k

S é a esfera de raio D i g i t e   a   e q u a ç ã o   a q u i .

Passo 1

Galerinha, se uma superfície S for da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, nós podemos definir a integral de superfície como:

∬ F . d S = ∬ - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

onde F = P i + Q j + R k . Neste caso a superfície é orientada para baixo. Então, vamos usar essa fórmula para encontrar o fluxo que será positivo. No final, vamos inverter o sinal!

Dado que F = - x i - y j + z 3 k e z = g x , y = x 2 + y 2 , precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ g ∂ x = x x 2 + y 2

∂ g ∂ y = y x 2 + y 2

Escrevendo a integral, temos:

∬ F . d S = ∬ - - x x x 2 + y 2 - - y y x 2 + y 2 + z 3   d A

∬ F . d S = ∬ x 2 + y 2 + z 3   d A

Substituindo z = x 2 + y 2 ,

∬ F . d S = ∬ x 2 + y 2 + x 2 + y 2 x 2 + y 2   d A

∬ F . d S = ∬ x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2   d A

Passo 2

A região D é a projeção da superfície no plano x y . Nos foi dito que S é a parte de um cone entre os planos z = 1 e z = 3 , certo? Em coordenadas polares, a equação do cone é z = | r | . A projeção de S no plano x y será a região entre duas circunferências concêntricas de raios 1 e 3 , que estão centradas na origem.

Em coordenadas polares, temos:

∬ F . d S = ∫ 1 3 ∫ 0 2 π r 2 + 1 r 2 r d θ d r

∬ F . d S = ∫ 1 3 r 4 + r 2 d r ∫ 0 2 π d θ

∬ F . d S = 2 π r 5 5 + r 3 3 1 3

∬ F . d S = 2 π 3 5 5 + 3 3 3 - 1 5 - 1 3

∬ F . d S = 1712 π 15

Como foi dito no passo anterior, o resultado final será com o sinal invertido! Logo, o resultado será

∬ F . d S = - 1712 π 15

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = - 1712 π 15

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