Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 24
Avalie a integral de superfície para o campo vetorial e a superfície . Em outras palavras, localize o fluxo de através de . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
é a esfera de raio
Passo 1
Galerinha, se uma superfície for da forma e é orientada para cima, nós podemos definir a integral de superfície como:
onde . Neste caso a superfície é orientada para baixo. Então, vamos usar essa fórmula para encontrar o fluxo que será positivo. No final, vamos inverter o sinal!
Dado que e , precisamos calcular as derivadas parciais:
Escrevendo a integral, temos:
Substituindo ,
Passo 2
A região é a projeção da superfície no plano . Nos foi dito que é a parte de um cone entre os planos e , certo? Em coordenadas polares, a equação do cone é . A projeção de no plano será a região entre duas circunferências concêntricas de raios e , que estão centradas na origem.
Em coordenadas polares, temos:
Como foi dito no passo anterior, o resultado final será com o sinal invertido! Logo, o resultado será
Resposta
A integral é igual a