Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ y d S ,   S é o helicoide com equação vetorial r u , v = < u c o s v , u s e n v , v > , 0 ≤ u ≤ 1 , o ≤ v ≤ π

Passo 1

Do enunciado nós temos r u , v = < u c o s v , u s e n v , v > , 0 ≤ u ≤ 1 , o ≤ v ≤ π .

Podemos calcular a suas taxas de variação em relação a u e v.

Passo 2

r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ ( u c o s ( v ) ) ∂ v i ⃑ + ∂ ( u s e n ( v ) ) ∂ v j ⃑ + ∂ ( v ) ∂ v k ⃑ = - u . s e n v i ⃑ + u . c o s v j ⃑ + k ⃑

r u = ∂ ( u c o s ( v ) ) ∂ u i ⃑ + ∂ ( u s e n ( v ) ) ∂ u j ⃑ + ∂ ( v ) ∂ u k ⃑ = cos ⁡ v i ⃑ + s e n v j ⃑

r u × r v = cos ⁡ v i ⃑ + s e n v j ⃑ × - u . s e n v i ⃑ + u . c o s v j ⃑ + k   ⃑ =

= s e n ( v ) i ⃑ - c o s v k ⃑ + u k ⃑

r u × r v = s e n ( v ) i ⃑ - c o s v k ⃑ + u k ⃑ = cos 2 ⁡ v + s e n 2 v + u 2 = u 2 + 1

Passo 3

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ y d S = substituindo as equações paramétricas

∬ ( u s e n v ) r u × r v d S = ∬ u s e n v u 2 + 1 d u d v

Como as variáveis de integração são independentes entre si podemos separá-las

= ∫ 0 1 u u 2 + 1 d u ∫ 0 π s e n ( v   )   d v =  

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u = chamando w = u 2 + 1 d w 2 = u d u

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u = ∫ 1 2 w d w 2 = 2 3 w 3 2 1 2 = 2 3 ( 2 3 2 - 1 )

A integral fica

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u ∫ 0 π s e n v   d v =

= 2 3 ( 2 3 2 - 1 )   ∫ 0 π s e n v   d v = 2 3 2 3 2 - 1 2 = 2 3 ( 2 2 - 1 )

Resposta

∬ y d S = 2 3 ( 2 2 - 1 )

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