Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x z d S ,   S é a parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

Passo 1

Para este exercício é infinitamente mais simples calcular a integral de superfície utilizando a equação 4.

Onde z = 4 - 2 x - 2 y

∂ z ∂ x = ∂ ( 4 - 2 x - 2 y   ) ∂ x = - 2

∂ z ∂ y = ∂ ( 4 - 2 x - 2 y   ) ∂ y = - 2

Passo 2

Quando temos uma função do tipo = f ( x , y )

A integral de superfície fica ∬ x z d S = ∬ x z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A equação 4,

Onde 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 2 - x primeiro octante definimos como o primeiro octante em que x ≥ 0   e   y ≥ 0   e   z ≥ 0

∬ x z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A = ∬ x z 3 d A = 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x ( 4 - 2 x - 2 y ) d y d x =

3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 4 x - 2 x 2 - 2 x y d y d x = ∫ 0 2 ( 4 x y - 2 x 2 y - x y 2 ) 0 2 - x =

= 3 ∫ 0 2 ( 4 x y - 2 x 2 y - x y 2 ) 0 2 - x d x = 3 ∫ 0 2 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x =

= 3 ( 1 4 ( x 4 4 - 4 3 x 3 + 2 x 2 ) 0 2 = 3 4 - 32 3 + 8 = 4

Resposta

∬ x z d S = 4

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