Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial F → e superfície orientada S .

F → x , y , z = x i ^ - z j ^ + y k ^ ,

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante com orientação para a origem.

Passo 1

O exercício pede para calcularmos o fluxo de F → sobre a superfície S . Nesse caso, S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante. Assim, fazemos a parametrização

x = 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,     y = 2   s e n   ϕ   s e n   θ ,     z = 2 cos ⁡ ϕ

Como estamos no primeiro octante:

0 ≤ ϕ ≤ π 2                 e               0 ≤ θ ≤ π 2

Além disso, como foi deduzido ao longo da seção do livro logo após a equação 5, o versor normal à superfície é dado por

n ^ = 1 a r →

Nesse caso, r → = ( 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   2   s e n   ϕ   s e n   θ ,   2 cos ⁡ ϕ ) e a = 2 . Além disso, como queremos que a orientação seja para a origem, ele deve apontar para fora, de modo que invertemos seu sinal:

n ^ = - ( s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   s e n   ϕ   s e n   θ ,   cos ⁡ ϕ )

Além disso,

F → = 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   - 2 cos ⁡ ϕ ,   2   s e n   ϕ   s e n   θ

Desta forma,

F → ⋅ d S → = F → ⋅ n ^   d S

Fazendo o produto escalar:

F → ⋅ n ^ = - 2   s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ - 2   s e n   ϕ   s e n   θ cos ⁡ ϕ + 2   s e n   ϕ   s e n   θ cos ⁡ ϕ

Logo,

F → ⋅ n ^ = - 2   s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ

Além disso, como também foi deduzido no livro, para o caso da esfera:

r → θ × r → ϕ = a 2   s e n   ϕ = 4   s e n   ϕ

Logo,

d S = r → θ × r → ϕ   d A = 4   s e n   ϕ   d ϕ   d θ

Passo 2

Desta forma,

I = ∫ ∫ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 - 2   s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ ⋅ 4   s e n   ϕ   d ϕ   d θ

Como as integrais são independentes:

I = - 8   ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ   ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Para a segunda integral:

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 θ + 1 2 s e n   2 θ 0 π / 2

Logo,

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 ⋅ π 2 = π 4

Já para a outra integral:

∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ = ∫ 0 π 2 1 - cos 2 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

Chamamos t = cos ⁡ t ⇒ d t = - s e n   t   d t :

∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ = - ∫ 1 0 1 - t 2   d t = t 3 3 - t 0 1 = 1 3 - 1 = - 2 3

Logo,

I = - 8 ⋅ - 2 3 ⋅ π 4 = 4 π 3

Resposta

I = 4 π 3

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