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Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Passo 1

Vamos primeiro converter para os limites em z:

z = 9 - x 2 - y 2 → z = 9 - r 2 → . . . 0 ≤ z ≤ 9 - r 2

E então, temos:

- 3 ≤ x ≤ 3 e y 2 = 9 - x 2 → y 2 + x 2 = 9

Com y ≥ 0 , e então concluímos que 0 ≤ r ≤ 3 .

Como y é positivo, só temos metade do círculo, então 0 ≤ θ ≤ π

Com isso, podemos definir a integral cilíndrica tripla como

∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 ( r × r ) d z d r d θ

Lembrando que x 2 + y 2 = r

Daí, resolvendo, chegamos em 162 π 5

Resposta

162 π 5

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →