Enunciado

Utilize as coordenadas esféricas.

Calcule ∭ H x 2 + y 2 d V , onde H é a região hemisférica que está acima do plano x y e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

Passo 1

Em relação aos limites em coordenadas esféricas que descrevem uma esfera de raio 1 e centrada na origem, a região H irá diferir apenas em relação a variável ϕ , pois a mesma terá valor máximo apenas em π / 2 . Sendo assim, os limites são:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ ϕ ≤ π / 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Com isto, nossa integral se transformará em:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ( ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ ) ⋅ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Pronto, esta é a nossa integral descrita em coordenadas esféricas.

Passo 2

Nosso passo agora é apenas resolver a integral descrita no final do Passo 1. Com isto, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ρ 5 5 0 1 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 1 5 sen 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 sen 3 ⁡ ϕ 5 d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 sen ⁡ ϕ ⋅ ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ ) 5 d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 sen ⁡ ϕ ⋅ ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ ) 5 d ϕ d θ = ∫ 0 2 π 1 5 ⋅ - cos ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π 2 d θ

∫ 0 2 π 1 5 ⋅ 1 - 1 3 d θ = ∫ 0 2 π 2 15 d θ = 4 π 15

E esta é a nossa resposta!

Resposta

4 π 1 5

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Calculec) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 .
Calculeb) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto z ≥ 0 , 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
Calcule a massa do sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 Supondo que a densida no ponto ( x , y , z ) é proporcional à distância deste ponto ao plano x y .
Calcule ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x ≥ 0 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d xd yd z onde B é a interseção da semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,z ≥ 0 com o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1