Enunciado

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2   d z d y d x

Passo 1

Aqui temos que a região de integração é acima de z = 0 e abaixo de z = 9 - x 2 - y 2 , o que nos dá:

z = 9 - x 2 - y 2 = 9 - r 2 → 0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Temos que 0 ≤ y ≤ 9 - x 2 e - 3 ≤ x ≤ 3 descrevem uma circunferência de raio 3 no plano x y , assim 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π .

Passo 2

Vamos fazer a transformação então:

E = r , θ , z | 0 ≤ θ ≤ π ,   0 ≤ r ≤ 3 , 0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Assim:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2   d z d y d x = ∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 r . r   d z d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 r 2   d z d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 3 r 2 z 0 9 - r 2 d r   d θ = ∫ 0 π ∫ 0 3 9 r 2 - r 4 d r   d θ = ∫ 0 π 3 r 3 - r 5 5 0 3 d θ = ∫ 0 π 162 5 d θ = 162 5 θ 0 π = 162 π 5

Resposta

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2   d z d y d x = 162 π 5

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