Enunciado

Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas

∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 1

A mudança para o sistema de coordenadas cilíndricas é realizada fazendo a seguinte substituição:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Se fizermos isto, vamos obter algo do tipo:

∭ E ρ cos ⁡ ϕ ⋅ ρ   d V = ∭ E ρ 2 cos ⁡ ϕ d V

O problema é esse nosso sólido E. Precisamos entender quem ele é para podermos escrever os limites de integração após a mudança do sistema de coordenadas.

O nosso sólido é limitado abaixo pelo plano z = 0 e acima pela superfície z = 9 - x 2 - y 2 . Esta superfície corresponde a uma superfície esférica de raio 3 e centrada na origem. Bom, estas informações são fundamentais. Com elas, já conseguimos dizer que o raio ρ varia de 0 até 3 .

A questão agora é sobre o θ e ϕ . Para entendermos eles, precisamos compreender como se comporta a projeção de E no plano x y . E esta região é a interseção do plano z = 0 com a nossa esfera, o que caracteriza uma circunferência de raio 3 e centrada na origem. Portanto, temos que 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Por fim, nos falta descobrir ϕ . Como os nossos limites são a superfície esférica por cima e o plano por baixo, estamos descrevendo então a metade superior da esfera. Sendo assim, 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 .

Logo, nossa integral tripla se transforma em:

∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ρ 2 cos ⁡ ϕ ⋅ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Perceba que apareceu mais um termo no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação!

Passo 2

Agora, só nos falta resolvermos a nossa integral! Vamos as contas então!

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ρ 4 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ ⋅ ρ 5 5 0 3 d θ d ϕ = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ ⋅ 243 5 d θ d ϕ

∫ 0 π / 2 243 5 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ ⋅ θ 0 2 π d ϕ = ∫ 0 π / 2 486 π 5 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ

486 π 5 - cos ⁡ 2 ϕ 4 0 π 2 = 486 π 5 ⋅ 1 4 + 1 4 = 243 π 5

Resposta

∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x = 243 π 5

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