Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) . d V , onde T é a esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 9

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

A nossa esfera é limitada por x 2 + y 2 + z 2 = 9 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

p 2 = 9

p = ± 3

Então p estará entre:

0 ≤ p ≤ 3

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 ≤ ф ≤ π

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T x 2 + y 2 + z 2 . d V = ∭ T ( p 2 ) p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 0 3 p 4 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 0 3 p 4 . d p = p 5 5 = 3 5 5

= 243 5

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π [ ∫ 0 2 π 243 5 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π 243 5 d θ = 486 π 5

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 486 π 5   . s e n   ф . d ф      

= 486 π 5 ∫ 0 π s e n   ф . d ф  

= 486 π 5 ( - c o s   ф )

Aplicando o intervalo:

= - 486 π 5 ( c o s   π - c o s   0 )

= - 486 π 5 ( - 1 - 1 )

= 972 π 5

Legal né ?

Resposta

972 π 5

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