Enunciado

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 + z^2 ) . d V , onde T é a esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 9 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

A nossa esfera é limitada por x^2 + y^2 + z^2 = 9 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

x^2 + y^2 + z^2 = p^2

p^2 = 9

p = +- 3

Então p estará entre:

0 <= p <= 3

Legal, agora só precisamos de ф e theta .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 <= ф <= pi

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() (x^2 + y^2 + z^2) . d V = ∭_T^() ( p^2 ) p^2 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∬_R^() [int_0^3 p^4 . d p] s e n (ф) . d theta . d ф

Resolvendo:

int_0^3 p^4 . d p = (p^5)/(5) = (3^5)/(5)

= (243)/(5)

Aplicando na integral:

= int_0^(pi) [ int_0^(2 pi) ((243)/(5)) d theta ] s e n (ф) . d ф

Resolvendo a integral:

int_0^(2 pi) ((243)/(5)) d theta = (486 pi)/(5)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^(pi) (486 pi)/(5) . s e n (ф) . d ф

= (486 pi)/(5) int_0^(pi) s e n (ф) . d ф

= (486 pi)/(5) ( - c o s (ф) )

Aplicando o intervalo:

= - (486 pi)/(5) ( c o s (pi) - c o s (0) )

= - (486 pi)/(5) ( - 1 - 1 )

= (972 pi)/(5)

Legal né ?

Resposta

(972 pi)/(5)

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