Calcular ∭ T d V , onde T é a região delimitada por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 z = 0 e z= (raiz(3) / 3) \* a

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Então, o que faremos?

Vamos calcular o volume da semiesfera de 0 até o topo e subtrair do volume da semiesfera que vai de 3 3 a até o topo

Em coordenadas esféricas:

z 2 = a 2 - r 2

z = a 2 - r 2

O raio é delimitado pelos valores de z. Quando z = 0 :

r 2 = a 2

r = ± a

E o raio irá de

0 ≤ r ≤ a

Quando z = 3 3 a   :

r 2 + 3 3 a   2 = a 2

r 2 = a 2 - 3 9 a 2 = 2 a 2 3

r = ± a 2 3

E neste caso o raio irá de:

0 ≤ r ≤ a 2 3

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∭ T r . d z . d r . d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - r 2 d z r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 3 ∫ 3 3 a a 2 - r 2 d z r d r d θ

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 a 2 - r 2 d z = z = a 2 - r 2

∫ 3 3 a a 2 - r 2 d z = z = a 2 - r 2 - 3 3 a

Sendo assim:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r 2 r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 3 a 2 - r 2 - 3 3 a r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 a r a 2 - r 2 d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 3 r a 2 - r 2 d r - ∫ 0 a 2 3 3 a 3 r d r d θ

Vamos começar resolvendo:

∫ 0 a 2 3 3 a 3 r d r = 3 a 3 × r 2 2 = 3 a 6 × 2 a 2 3 = 3 a 3 9

Simplificando:

∫ 0 a 2 3 3 a 3 r d r = a 3 3 3

Resolvendo a segunda integral, sem levar em consideração agora o intervalo:

∫ a 2 - r 2 r d r

Vamos chamar:

u = a 2 - r 2

d u = - 2 r d r →   - d u 2 = r . d r

= ∫ u 1 2 - d u 2

= - 1 2 ∫ u 1 2 d u

= - 1 3 u 3 2

De volta ao r:

= - 1 3 ( a 2 - r 2 ) 3 2

Com o resultado podemos aplicar os intervalos:

∫ 0 a a 2 - r 2 r d r = - 1 3 a 2 - a 2 3 2 - a 2 3 2  

= a 3 3

∫ 0 a 2 3 a 2 - r 2 r d r = - 1 3 a 2 - a 2 3 2 3 2 - a 2 3 2  

= - 1 3 a 3 3 3 - a 3 = a 3 3 - a 3 9 3 = 3 3 - 1 a 3 9 3

Colocando nas integrais:

= ∫ 0 2 π a 3 3 d θ - ∫ 0 2 π 3 3 - 1 a 3 9 3 - a 3 3 3 d θ

= a 3 3 θ - 3 3 - 1 a 3 9 3 - a 3 3 3 θ

= a 3 3 - 3 3 a 3 - a 3 - 3 a 3 9 3 θ

= 3 3 a 3 - 3 3 a 3 + 4 a 3 9 3 θ

= 4 a 3 9 3 θ = 4 3 a 3 27 θ

Aplicando o intervalo:

= 4 3 a 3 27 2 π

= 8 π 3 a 3 27

De boas ?

Resposta

8 π 3 a 3 27

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