Calcular as seguintes integrais:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( e x 2 + y 2 + z 2 ) d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até 1 - x 2 - y 2 .

Com isso nós deduzimos que:

z = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Legal, né? Então bora desenhar:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

p 2 = 1

p = ± 1

Então p estará entre:

0 ≤ p ≤ 1

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então para meia esfera:

0 ≤ ф ≤ π 2

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( e x 2 + y 2 + z 2 ) d z . d y . d x = ∭ T ( e p 3 ) p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 0 1 e p 3 p 2 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 0 1 e p 3 p 2 . d p

Chamando:

u = p 3

d u = 3 p 2 d p → d u 3 = p 2 d p

= ∫ 0 1 e u d u 3 = 1 3 ∫ 0 1 e u d u

= 1 3 . e u

Substituindo u:

= 1 3 . e p 3

E aplicando o intervalo:

= 1 3 e 1 - e 0 = e - 1 3

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π 2 [ ∫ 0 2 π e - 1 3 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π e - 1 3 d θ = 2 π e - 1 3

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 2 2 π e - 1 3   . s e n   ф . d ф      

= 2 π e - 1 3 ∫ 0 π 2 s e n ф   . d ф  

= 2 π e - 1 3 ( - cos ⁡ ф )

Aplicando o intervalo:

= - 2 π e - 1 3 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0

= - 2 π e - 1 3 ( 0 - 1 )

= 2 π e - 1 3

Prontinhoo!!

Resposta

2 π e - 1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados