Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Calcule o valor de:

int int int y^2 d V

Sob E que que é o hemisfério sólido x^2 + y^2 + z^2 <= 9 , y >= 0 .

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Analisando a região dada no enunciado, notamos que ela será uma meia esfera (devido a restrição em y ) e terá raio menor ou igual a 3, com isso, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:

int_0^(pi) int_0^(pi) int_0^3 (rho s e n varphi s e n theta)^2 rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi

int_0^(pi) int_0^(pi) int_0^3 [ rho^2 s e n^2 varphi s e n^2 theta ] rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi

int_0^(pi) int_0^(pi) int_0^3 rho^4 s e n^3 varphi s e n^2 theta d rho d theta d varphi

Passo 2

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

int_0^(pi) s e n^3 varphi d varphi int_0^(pi) s e n^2 theta d theta int_0^3 rho^4 d rho

Das relações fundamentais da trigonometria, temos: s e n^2 x = (1 - cos 2 x) // 2 , s e n^2 x = 1 - cos^2 x sendo assim, lançando mão dessas relações, podemos reescrever a integral como:

int_0^(pi) ( 1 - cos^2 varphi ) s e n varphi d varphi int_0^(pi) (1)/(2) ( 1 - cos 2 theta ) d theta int_0^3 rho^4 d rho

Passo 3

Antes de resolver a integral, devemos notar que, para varphi , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

int cos^x theta s e n theta

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s theta -> d u = - s e n theta e a integral se torna:

int - u^x d u = - (u^(x + 1))/(x + 1) = - (cos^x theta)/(x + 1)

Nesse caso, temos x = 2 , então, resolvendo a integral em varphi , temos:

int_0^(pi) - s e n varphi cos^2 varphi d varphi = [(1)/(3) cos^3 varphi]_0^(pi)

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

[- cos varphi + (1)/(3) cos^3 varphi]_0^(pi) [(1)/(2) (theta - (1)/(2) s e n 2 theta)]_0^(pi) [(1)/(5) rho^5]_0^3

[((2)/(3) + (2)/(3))] [(1)/(2) pi] [(1)/(5) (3)^5] = ((4)/(3)) ((pi)/(2)) ((243)/(5))

Sendo assim, temos que:

int int int y^2 d V = (162 pi)/(5)

Resposta

int int int y^2 d V = (162 pi)/(5)

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Esboce o sólido descrito pelas inequações:
Identifique a superfície com a equação dada.
Esboce o sólido descrito pelas inequações:
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.