Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Fala aí! Nesse exercício, iremos analisar a integral:

∭_()^() z d V

Ela está sob a região E que é delimitada pelo cilindro y^2 + z^2 = 9 e os planos x = 0 , y = 3 x e z = 0 no primeiro octante.

Para facilitar a visualização, vamos dar uma olhada nas imagens a seguir:

Agora vamos lá! Para descobrirmos a equação da parte superior da casca, vamos começar isolando z da equação do cilindro, ok?

z = sqrt(9 - y^2)

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

int_0^1 int_(3 x)^3 int_0^(sqrt(9 - y^2)) z d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, começando por z :

int_0^1 int_(3 x)^3 [(z^2)/(2)]_(z = 0)^(z = sqrt(9 - y^2)) d y d x

int_0^1 int_(3 x)^3 (1)/(2) [(sqrt(9 - y^2))^2 - (0)^2] d y d x

(1)/(2) int_0^1 int_(3 x)^3 [9 - y^2] d y d x

Passo 2

Agora calculando a integral em função de y :

(1)/(2) int_0^1 [9 y - (y^3)/(3)]_(y = 3 x)^(y = 3) d x

(1)/(2) int_0^1 [9 . (3) - ((3)^3)/(3)] - [9 . (3 x) - ((3 x)^3)/(3)] d x

(1)/(2) int_0^1 27 - (27)/(3) - 27 x + (27 x^3)/(3) d x

(1)/(2) int_0^1 (54)/(3) - 27 x + (27 x^3)/(3) d x

(1)/(2) int_0^1 (18 - 27 x + 9 x^3) d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

(1)/(2) [18 x - (27)/(2) x^2 + (9)/(4) x^4]_0^1

(1)/(2) [18 . (1) - (27)/(2) . (1)^2 + (9)/(4) . (1)^4] - [0]

(1)/(2) (18 - (45)/(4))

(27)/(8)

E, dessa forma o valor da integral é:

∭_()^() z d V = (27)/(8)

Conseguimos! Show de bola!

Resposta

∭_()^() z d V = (27)/(8)

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