Enunciado

Calcule

o) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 + z^2 <= 4 , z >= 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B 2 * z * d x * d y * d z = int int_K 2 * [int_0^(sqrt(4 - x^2 - y^2)) z * d z] * d x * d y

Para descobrir nosso conjunto K , vamos pegar um valor especifico de z . Supondo z = 0 , temos que x^2 + y^2 <= 4 , que é uma circunferência. Aplicando uma transformação para coordenadas polares, ficamos com

x = rho * cos theta

y = rho * sin theta

0 <= rho <= 2

0 <= theta <= 2 * pi

Nosso jacobiano ficará d x * d y = rho * d rho * d theta . Partindo para integração, temos que

int int_K (z^2)_0^(sqrt(4 - x^2 - y^2)) * d x * d y = int int_K (4 - x^2 - y^2) * d x * d y =

= int_0^(2 * pi) int_0^2 (4 - rho^2) * rho * d rho * d theta = 2 * pi * (4 * (rho^2)/(2) - (rho^4)/(4))_0^2 = 2 * pi * (8 - 4) = 8 * pi

Resposta

int int int_B 2 * z * d x * d y * d z = 8 * pi

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