Enunciado

Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.

Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .

Passo 1

Faaala galerinha, tudo bem?

Precisamos determinar o volume exato de um sólido usando um sistema de computação algébrico.

Esse sólido está abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .

Primeiro vamos lembrar como é a expressão do volume:

V = ∬ D z ( x , y ) d A

Onde, z é a função que delimita a região, d A = d x d y e D é nossa região de integração.

Precisamos montar nossa integral de volume, e já conhecemos z(x,y), pois o problema nos forneceu:

z ( x , y ) = x 3 y 4 + x y 2

Precisamos encontrar nossa região D , que compreende os intervalos de integração.

Vamos fazer o gráfico das curvas dadas para x ≥ 0 :

y = x 3 - x

y = x 2 + x

Assim conseguimos compreender o intervalo de variação de x e y .

Para resolver a integral, você pode usar a calculadora online WolframAlpha.

Bora colocar mão na massa!

Passo 2

Primeiro vamos construir os gráficos das curvas:

y = x 3 - x

y = x 2 + x

para x ≥ 0 .

Utilizando o software Geogebra, podemos obter o seguinte gráfico:

Nossa região de interesse é a região D (em amarelo), que está entre as duas curvas.

Temos que o ponto A e o ponto B valem:

A = 0,0

B = ( 2,6 )

Observe que temos uma região do tipo I:

Logo, podemos escrever D como:

D = x , y   x 3 - x ≤ y ≤ x 2 + x ,   0 ≤ x ≤ 2 }

Assim, o volume é dado por

V = ∫ 0 2 ∫ x 3 - x x 2 + x x 3 y 4 + x y 2   d y   d x

Passo 3

Agora, precisamos determinar o volume através de um sistema de computação algébrico.

V = ∫ 0 2 ∫ x 3 - x x 2 + x x 3 y 4 + x y 2   d y   d x

Fazendo a integral exata usando a calculadora do WolframAlpha, vamos obter:

Use o imput:

integrate [//math:x^3 y^4+xy^2//] [//math:dy dx//], x=[//math:0//]..[//math:2//], y=[//math:x^3-x//]..[//math:x^2+x//]

V = 13984735616 14549535 ≈ 961 , 18   u n i d a d e s   d e   v o l u m e

Resposta

13984735616 14549535 ≈ 961 , 18

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Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 y e y e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0ey = 1 .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x + 6 y - 2 z + 15 = 0 e acima do retângulo R = { x , y ,- 1 ≤ x ≤ 2e - 1 ≤ y ≤ 1 } .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3 y 2 - x 2 + 2 , e acima do retângulo R = - 1,1 × [ 1 , 2 ] .
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R = - 1,1 × [ - 2,2 ] .
Encontre a área da superfície.