Calcule

r) ∫ ∫ ∫ B y - x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 <= x + y <= 8 , 1 / x <= y <= 2 / x , y >= x e 0 <= z <= ( (x \* y)^(1/3) ) / raiz(x + y) .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar esse grande sofrimento que será... Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B ( y - x ) ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K y - x ⋅ ∫ 0 x ⋅ y 1 3 x + y d z ⋅ d x ⋅ d y

Vemos que nosso conjunto K será o intervalo 4 ≤ x + y ≤ 8 , 1 x ≤ y ≤ 2 x , y ≥ x . Novamente precisamos nos atentar ao y ≥ x pois será muito importante. Vamos fazer uma transformação de coordenadas: vamos chamar x + y = u e x ⋅ y = v . Assim, temos que nosso novo intervalo fica

4 ≤ u ≤ 8

1 ≤ v ≤ 2

Agora precisamos encontrar quem é x e quem é y ...Vamos lá então. Isolando y para a relação de u e substituindo na de v , chegamos que

x 2 - u ⋅ x + v = 0

Que, ao resolvermos, ficamos que

x = u ± u 2 - 4 ⋅ v 2

Mas só um valor pode ser válido, pois y ≥ x , então vamos descobrir o valor de y para o resultado positivo de x !

x + y = u → u + u 2 - 4 ⋅ v 2 + y = u

y = 1 2 ⋅ u - 1 2 ⋅ u 2 - 4 ⋅ v

Que é inválido, pois para esse caso y ≤ x . Logo os resultados verdadeiros são

x = u - u 2 - 4 ⋅ v 2

y = u + u 2 - 4 ⋅ v 2

Agora, calculando o jacobiano dessa transformação, que será um pouco chato de calcular, chegaremos que

∂ x , y ∂ u , v = u 2 - 4 ⋅ v - 1 2 ⋅ d u ⋅ d v

E, finalmente, temos tudo que precisamos para calcular a integral!!!

∫ ∫ K y - x ⋅ x ⋅ y 1 3 x + y ⋅ d x ⋅ d y = ∫ 0 8 ∫ 1 2 u 2 - 4 ⋅ v 1 2 ⋅ v 1 3 u 1 2 ⋅ u 2 - 4 ⋅ v - 1 2 ⋅ d u ⋅ d v =

= ∫ 0 8 u - 1 2 ⋅ d u ⋅ ∫ 1 2 v 1 3 ⋅ d v = 2 ⋅ u 1 2 0 8 ⋅ 3 4 ⋅ v 4 3 1 2 = 3 2 ⋅ 8 - 2 ⋅ 16 1 3 - 1 ≈ 1,89

(finalmente)

Resposta

∫ ∫ ∫ B y - x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z ≈ 1,89

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