Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 1   ∫ 3 y 3 e x 2 d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até 3, enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = x 3 . Assim:

∫ 0 1   ∫ 3 y 3 e x 2 d x d y = ∫ 0 3   ∫ 0 x 3 e x 2 d y d x

Passo 2

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 x 3 e x 2 d y = y e x 2 0 π / 3

∫ 0 x 3 e x 2 d y = x 3 e x 2

Portanto:

∫ 0 3   ∫ 0 x 3 e x 2 d y d x = ∫ 0 3   x 3 e x 2 d x

Vamos aplicar a integração por substituição:

Seja:

u = x 2

d u d x = 2 x

x d x = d u 2

Analisando os limites de integração, temos que:

x = 0 → u = 0

x = 3 → u = 9

Logo:

∫ 0 9 1 6 e u d u = 1 6 e u 0 9

∫ 0 9 1 6 e u d u = 1 6 e 9 - 1

A nossa resposta será:

∫ 0 3   ∫ 0 x 3 e x 2 d y d x = 1 6 e 9 - 1

Resposta

∫ 0 3   ∫ 0 x 3 e x 2 d y d x = 1 6 e 9 - 1

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