Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 1 ∫ x 1 e x / y   d y   d x

Passo 1

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, vamos ter que x vai de x = 0 até x = y , enquanto y varia de 0 a 1 :

∫ 0 1 ∫ x 1 e x / y   d y   d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y e x / y   d x   d y

Passo 2

Fazendo a primeira integral em x :

∫ 0 1 ∫ 0 y e x / y   d x   d y = ∫ 0 1 y   e x / y 0 y d y = ∫ 0 1 y   e - 1 d y

Assim,

∫ 0 1 y   e - 1 d y = e - 1   y 2 2 0 1 = 1 2 ( e - 1 )

Resposta

1 2 ( e - 1 )

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
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