Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 1   ∫ x 2 1 y sin ⁡ y d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até y , enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = 1 . Assim:

∫ 0 1   ∫ x 2 1 y sin ⁡ y d y d x = ∫ 0 1   ∫ 0 y y   s e n y d x d y

Passo 2

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 y y sin ⁡ y d x = y   s e n y x 0 y

∫ 0 y y sin ⁡ y d x = y   s e n ( y )

Portanto:

∫ 0 1   ∫ 0 y y   s e n y d x d y = ∫ 0 1   y   s e n ( y ) d y

Vamos aplicar a integração por partes:

∫ 0 1   y   s e n ( y ) d y = s e n y - y cos ⁡ y 0 1

∫ 0 1   y   s e n ( y ) d y = s e n 1 - 1 cos ⁡ 1 - s e n 0 - 0 cos ⁡ 0

∫ 0 1   y   s e n ( y ) d y = s e n 1 - cos ⁡ 1

A nossa resposta será:

∫ 0 1   ∫ 0 y y   s e n y d x d y = s e n 1 - cos ⁡ 1

Resposta

∫ 0 1   ∫ 0 y y   s e n y d x d y = s e n 1 - cos ⁡ 1

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