Enunciado

Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique porque ela é mais fácil.

∬ D y 2 e x y d A ,     D   é   l i m i t a d a   p o r   y = x , y = 4 ,   x = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como D é limitado pelas retas y = x , y = 4 e x = 0 , vamos plotar estas retas para ver como fica a região D :

Nosso objetivo é expressar D como uma região do tipo I e também do tipo I I e em seguida analisar qual a integral dupla que será mais fácil de resolver.

Passo 2

A região D é mostrada na figura. Vamos usar o tipo I I porque a avaliação da integração será menos complicada. Assim:

D x , y 0 ≤ y ≤ 4 ,   0 ≤ x ≤ y

Temos então que:

∬ D y 2 e x y d A = ∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 y y 2 e x y d x = y e x y 0 y

∫ 0 y y 2 e x y d x = y e y 2 - e 0

∫ 0 y y 2 e x y d x = y e y 2 - 1

∫ 0 y y 2 e x y d x = y e y 2 - y

Logo:

∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y d x d y = ∫ 0 4 y e y 2 - y d y

∫ 0 4 y e y 2 - y d y = ∫ 0 4 y e y 2 d y - ∫ 0 4 y d y

Para a primeira integral, precisamos usar o método da substituição, chamando y 2 = t . Logo:

2 y d y = d t

y d y = d t 2

Vamos checar os limites:

y = 0 → t = 0

y = 4 → t = 16

Portanto:

∫ 0 4 y e y 2 d y - ∫ 0 4 y d y = 1 2 ∫ 0 16 e t d y - ∫ 0 4 y d y

∫ 0 16 e t d y - ∫ 0 4 y d y = 1 2 e t 0 16 - y 2 2 0 4

Resolvendo, temos:

∫ 0 16 e t d y - ∫ 0 4 y d y = 1 2 e 16 - e 0 - 4 2 2 - 0

= e 16 2 - 17 2

Portanto:

∬ D y 2 e y 2 d A = e 16 2 - 17 2

Resposta

∬ D y 2 e y 2 d A = e 16 2 - 17 2

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