Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() (2 x + y) d A , D = {(x , y) | 1 <= y <= 2 , y - 1 <= x <= 1}

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a x e considerar y como uma constante. Podemos dizer que:

∬_D^() (2 x + y) d A = int_1^2 int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x d y

Vamos resolver a integral com relação a x :

int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x = [(2 x^2)/(2) + y x]_(y - 1)^1

int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x = [x^2 + y x]_(y - 1)^1

int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x = [(1^2 + y (1)) - ((y - 1)^2 + y (y - 1))]

int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x = 1 + y - (y - 1)^2 - y^2 + y

int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x = 1 + y - (y^2 - 2 y + 1) - y^2 + y

int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x = - 2 y^2 + 4 y

Logo:

int_1^2 int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x d y = int_1^2 (- 2 y^2 + 4 y) d y

Passo 2

Agora é só resolver. Portanto:

int_1^2 (- 2 y^2 + 4 y) d y = [- (2 y^3)/(3) + (4 y^2)/(2)]_1^2

int_1^2 (- 2 y^2 + 4 y) d y = [(- (2)/(3) (2)^3 + (4)/(2) (2)^2) - (- (2)/(3) (1)^3 + (4)/(2) (1)^2)]

int_1^2 (- 2 y^2 + 4 y) d y = (- (16)/(3) + 8) - (- (2)/(3) + 2)

int_1^2 (- 2 y^2 + 4 y) d y = - (16)/(3) + 8 + (2)/(3) - 2

int_1^2 (- 2 y^2 + 4 y) d y = (4)/(3)

Então:

int_1^2 int_(y - 1)^1 (2 x + y) d x d y = (4)/(3)

E:

∬_D^() (2 x + y) d A = (4)/(3)

Resposta

∬_D^() (2 x + y) d A = (4)/(3)

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