Calcule

h )   ∫ x ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u x   e   v x podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

No nosso caso é mais fácil usar o x d x = d v já que achar uma primitiva de x d x é mais fácil do que achar uma primitiva de ln 2 ⁡ x

Assim:

d v = x d x → v = x 2 2

d ln ⁡ x 2 d x = 2 ln ⁡ x x → d u = 2 ln ⁡ x x d x

∫ x ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ∫ x 2 2 × 2 ln ⁡ x x d x = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ∫ x × ln ⁡ x d x

∫ x ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ∫ x × ln ⁡ x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

∫ x ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ∫ x × ln ⁡ x d x

Pelo que dá pra ver temos outra integral que pode ser resolvida por partes:

∫ x × ln ⁡ x d x

Novamente, é mais fácil de resolver sendo d x = x d x assim:

∫ x × ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - ∫ 1 x × x 2 2 d x = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 ∫ x d x

∫ x × ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 × x 2 2 = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4

Passo 3

Substituindo:

∫ x ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x 2 2 - x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 = ln ⁡ x 2 x 2 2 - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4

= x 2 2 ln ⁡ x 2 - ln ⁡ x + 1 2 + k

Lembrando sempre da constante

Resposta

∫ x ln ⁡ x 2 = x 2 2 ln ⁡ x 2 - ln ⁡ x + 1 2 + k

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