Calcule

j )   ∫ x e 2 x d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u x   e   v x podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

No nosso caso é mais fácil derivar x = u → d x = d u e usar e 2 x d x = d v → e 2 x 2 = v

Assim:

∫ x e 2 x = x e 2 x 2 - ∫ e 2 x 2 d x = x e 2 x 2 - 1 2 ∫ e 2 x d x

∫ x e 2 x = x e 2 x 2 - 1 2 ∫ e 2 x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

∫ x e 2 x = x e 2 x 2 - 1 2 ∫ e 2 x d x

Agora temos a integral:

∫ e 2 x d x

Se usarmos

2 x = w → d w = 2 d x → d w 2 = d x

Assim:

1 2 ∫ e w d w

Sabemos que

d e w d w = e w

Então:

1 2 ∫ e w d w = 1 2 e w + k

Temos agora que voltar pra variável x

1 2 e w + k = 1 2 e 2 x + k

Passo 3

Substituindo:

∫ x e 2 x = x e 2 x 2 - 1 4 e 2 x + k = e 2 x 2 x - 1 2 + k

Lembrando sempre da constante

Resposta

∫ x e 2 x = e 2 x 2 x - 1 2 + k

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