Calcule

o )   ∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição tal que:

w = x 2 → d w = 2 x d x

1 2 ∫ w cos ⁡ w d w

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u w   e   v w podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para esse caso é mais fácil fazer u = w → d u = d w   e   v = sin ⁡ w → d v = cos ⁡ w d w

Assim:

1 2 ∫ w cos ⁡ w d w = 1 2 w sin ⁡ w   - ∫ sin ⁡ w d w

Passo 2

Agora vamos integrar:

1 2 ∫ w cos ⁡ w d w = 1 2 w sin ⁡ w   - ∫ sin ⁡ w d w = 1 2 w sin ⁡ w + cos ⁡ w

Voltando pra variável x :

∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ w cos ⁡ w d w = 1 2 w sin ⁡ w + cos ⁡ w = 1 2 x 2 sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2

Não esquecendo da constante:

∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x = 1 2 x 2 sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + k

Resposta

∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x = 1 2 x 2 sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados