Calcule a integral ∫ x 2 . e - x   d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   x 2  

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u   =   ( x 2 ) ’ .   d x      

d u   =   2 x   .   d x  

d v   =   e - 1 . x   d x  

v   =   ∫   e - 1 . x   d x

v   =     1 - 1 . e - 1 . x

    v   =   - 1 . e - 1 . x

observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x 2 . e - x   d x = x 2 . ( - e - 1 . x ) -   ∫ - 1 . e - 1 . x   . 2 x   d x    

= -   x 2 . e - x - ( -   2 ) ∫ x . e - x   d x    

= -   x 2 . e - x + 2 ∫ x . e - x   d x    

Para continuar desenvolvendo a questão precisamos resolver ∫ x . e - x   d x     , e a melhor forma é resolvendo por partes:

w   =   x  

d w   =   ( x ) ’ .   d x    

d w   =   1   .   d x      

d z   =   e - x   d x

z   =   ∫ e - x   d x

      z   =   - 1 . e - 1 . x

∫ w   d z = w . z -   ∫ z   d w

∫ x . e - x   d x     = x . ( - 1 . e - . x ) ⁡ -   ∫ - 1 . e - . x   d x

= - x . e - x - ( -   1 ) ∫ e - x   d x    

= - x . e - x + ∫ e - x   d x    

= - x . e - x + ( - 1 . e - 1 . x )

= - x . e - x - e - x

Agora é só subistituir o resultado pra continuar o desenvolvimento:

∫ x 2 . e - x   d x   = -   x 2 . e - x + 2 ∫ x . e - x   d x    

= -   x 2 . e - x + 2 ( - x . e - x - e - x )

=   -   x 2 . e - x + 2 ( - x . e - x ) - 2 . e - x )

=   -   x 2 . e - x - 2 x . e - x - 2 . e - x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x 2 . e - x   d x =   -   x 2 . e - x - 2 x . e - x - 2 . e - x + c

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