Calcule a integral usando integração por partes

∫ e - 2 x s e n ( 3 x ) d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = sen ⁡ 3 x ⇒ d u = cos ⁡ 3 x 3 d x ⇒ d u = 3 c o s ⁡ ( 3 x ) d x,

d v = e ( - 2 x ) ⇒ v = - 1 2 e ( - 2 x )

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ e - 2 x s e n ( 3 x ) d x

= sen ⁡ 3 x - 1 2 e - 2 x - ∫ - 1 2 e ( - 2 x ) ( 3 c o s ⁡ ( 3 x ) ) d x  

Usando a propriedade de integrais de retirada da constante,

= - 1 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x + 3 2 ∫ e ( - 2 x ) c o s ( 3 x ) d x  

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = c o s 3 x ⇒ d u = - 3 s e n ⁡ ( 3 x ) d x ,

d v = e ( - 2 x ) ⇒ v = - 1 2 e ( - 2 x )

Sendo assim,

⇒ ∫ e ( - 2 x ) c o s ( 3 x ) d x   = c o s 3 x - 1 2 e - 2 x - ∫ - 1 2 e - 2 x . ( - 3 sen ⁡ 3 x )   d x

= - 1 2 c o s 3 x e - 2 x - 3 2 ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x

Logo,

∫ e - 2 x s e n ( 3 x ) d x = - 1 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x + 3 2 - 1 2 c o s 3 x e - 2 x - 3 2 ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x

= - 1 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 4 c o s 3 x e - 2 x - 9 4 ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x

Assim,

∫ e - 2 x s e n ( 3 x ) d x = - 1 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 4 c o s 3 x e - 2 x - 9 4 ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x

⇒ ∫ e - 2 x s e n ( 3 x ) d x + 9 4 ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x = - 1 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 4 c o s 3 x e - 2 x

⇒ 13 4 ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x = - 1 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 4 c o s 3 x e - 2 x

Multiplicando a igualdade por 2

⇒ 13 2 ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x = - sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 2 c o s 3 x e - 2 x

⇒ ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x = 2 13 - sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 2 c o s 3 x e - 2 x

⇒ ∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x = 1 13 - 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 c o s 3 x e - 2 x

Portanto,

∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x = 1 13 - 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 c o s 3 x e - 2 x + C

Resposta

∫ e - 2 x sen ⁡ 3 x   d x = 1 13 - 2 sen ⁡ 3 x e - 2 x - 3 c o s 3 x e - 2 x + C

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