Calcule a integral sem usar tabelas

∫ 0 2 s + 1   d s 4 - s 2    

Passo 1

Quando integramos uma função em seus pontos assintóticos (onde a função explode pro infinito ou pro zero) temos integrais impróprias que podem ser descritas por

i :       ∫ a b f ( x )   d x = lim c → a + ⁡ ∫ c b f x d x

i i :       ∫ a b f ( x )   d x = lim c → b - ⁡ ∫ a c f x d x

i i i :       ∫ a b f ( x )   d x = ∫ a c f ( x )   d x   + ∫ c b f ( x )   d x   ,   c   é   u m   p o n t o   d e   d e s c o n t i n u i d a d e

No entanto, vamos resolver primeiro a integral de forma indefinida e, depois, nesse resultado aplicaremos o limite

Passo 2

Podemos separar nossa integral em duas e vamos obter o seguinte

∫ 0 2 s   d s 4 - s 2   + ∫ 0 2 1   d s 4 - s 2  

Vamos resolver cada uma delas separadamente e depois concatenar os resultados

1 :   ∫ 0 2 s   d s 4 - s 2   = 1 2 ⋅ ∫ 0 2 2 s   d s 4 - s 2  

Fazendo u = 4 - s 2 → d u = - 2 s   d s →   - d u = 2 s   d s , analisando os limites de integração temos que quando x = 0 → u = 4 e quando x = 2 → u = 0

→       - ∫ 4 0 d u 2 u   = ∫ 0 4 d u 2 u    

Utilizando a forma ( i ) descrita no primeiro passo vamos ter

∫ 0 4 d u 2 u   = lim b → 0 + ⁡ ∫ b 4 d u 2 u = lim b → 0 + ⁡ [ u ] 4 b = l i m b → 0 + 2 - b = 2

Passo 3

Resolvendo a segunda integral, vamos ter

2 :   ∫ 0 2 1   d s 4 - s 2   = l i m c → 2 -     ∫ 0 c 1   d s 4 - s 2   =   l i m c → 2 -   a r c s e n s 2 c 0 =  

l i m c → 2 -   a r c s e n c 2 - a r c s e n 0 c 0 = π 2

Por fim, podemos juntar ambos os resultados para terminar o problema, dessa forma

2 + π 2

Resposta

2 + π 2

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