Enunciado

Calcule a integral.

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em [a , b] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F^' = f .

Lembre-se também que:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos obter a integral indefinida da função:

int (6 x^2 - 4 x + 5) d x = (6 x^3)/(3) - (4 x^2)/(2) + 5 x + C :.

int (6 x^2 - 4 x + 5) d x = 2 x^3 - 2 x^2 + 5 x + C

Passo 3

Então, pelo teorema fundamental do cálculo, temos:

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x = [2 x^3 - 2 x^2 + 5 x + C] (2)/(0)

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x = [2 (2)^3 - 2 (2)^2 + 5 (2) + C] - [2 (0)^3 - 2 (0)^2 + 5 (0) + C]

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x = 2 (2)^3 - 2 (2)^2 + 5 (2)

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x = 16 - 8 + 10

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x = 18

Resposta

int_0^2 (6 x^2 - 4 x + 5) d x = 18

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