Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.3 - Ex. 22
Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
Passo 1
A Parte 2 do Teorema fundamental do Cálculo estabelece que se temos uma função contínua num intervalo , e conhecemos uma antiderivada da função, podemos calcular a integral no intervalo da seguinte maneira:
O problema da integral então fica resumido a encontrar a antiderivada da função, e subtrair o valor dela no final do intervalo pelo valor no início. Devemos prestar atenção ao fato de que pra calcularmos a integral a função deve existir e ser contínua em todos os pontos do intervalo. Outra coisa é que o Teorema serve pra qualquer antiderivada de (existem infinitas!), e sempre escolheremos a mais fácil (quando a constante C é zero). Vamos então usar o TFC2 pra calcular essa integral. Aqui usamos ao invés de , mas não muda a resolução.
Passo 2
Primeiro devemos checar se a função é contínua no intervalo. Temos , um polinômio, e todo polinômio é sempre contínuo. Agora queremos achar a antiderivada de . Aplicamos a regrinha pra potências:
Então fazemos isso, aumentamos um no expoente e colocamos o valor resultante do expoente no denominador pra cada parte:
Aplicando então o teorema (usando a antiderivada com ):
Resposta
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