Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 5.3 - Ex. 22

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Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y

Passo 1

A Parte 2 do Teorema fundamental do Cálculo estabelece que se temos uma função f ( x ) contínua num intervalo [ a ,   b ] , e conhecemos uma antiderivada F ( x ) da função, podemos calcular a integral no intervalo da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

O problema da integral então fica resumido a encontrar a antiderivada da função, e subtrair o valor dela no final do intervalo pelo valor no início. Devemos prestar atenção ao fato de que pra calcularmos a integral a função deve existir e ser contínua em todos os pontos do intervalo. Outra coisa é que o Teorema serve pra qualquer antiderivada de f (existem infinitas!), e sempre escolheremos a mais fácil (quando a constante C é zero). Vamos então usar o TFC2 pra calcular essa integral. Aqui usamos y ao invés de x , mas não muda a resolução.

Passo 2

Primeiro devemos checar se a função é contínua no intervalo. Temos f y = 1 + 3 y - y 2 , um polinômio, e todo polinômio é sempre contínuo. Agora queremos achar a antiderivada de 1 + 3 y - y 2 . Aplicamos a regrinha pra potências:

f x = x n ⇒ F x = x n + 1 n + 1 + C           ( s e   n ≠ - 1 )

Então fazemos isso, aumentamos um no expoente e colocamos o valor resultante do expoente no denominador pra cada parte:

f y = 1 + 3 y - y 2 ⇒ F y = y + 3 y 2 2 - y 3 3 + C = y + 3 y 2 2 - y 3 3 + C

Aplicando então o teorema (usando a antiderivada com C = 0 ):

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y = F 4 - F 0 = 4 + 3 4 2 2 - 4 3 3 - 0

= 4 + 24 - 64 3 = 12 + 72 - 64 3 = 20 3

Resposta

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y = 20 3

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