Enunciado

Calcule a integral:

int s 2^s d s

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,2^s,d,s,v,=,,?],[u,=,s,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,2^s,d,s,v,=,int 2^s d s =,(2^s)/(ln 2),+,C],[u,=,s,d,u,=,,1,d,s]]

Devemos lembrar que ((2^s)/(ln 2))^' = (2^s * ln 2)/(ln 2) = 2^s . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace s) underset(d v)(ubrace 2^s d s) = underset(u)(ubrace s) underset(v)(ubrace ((2^s)/(ln 2))) - int underset(v)(ubrace (2^s)/(ln 2)) underset(d u)(ubrace 1 d s)

int s 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (1)/(ln 2) int 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (1)/(ln 2) ((2^s)/(ln 2)) + C

int s 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (2^s)/((ln 2)^2) + C

Resposta

int s 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (2^s)/((ln 2)^2) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

60- Valor médio Em um sistema massa-mola-amortecedor como o que vimos no Exercício 59, a posição da massa no instante t é: y = 4 e - t ( s e nt - cos ⁡ t ) ,t ≥ 0 Determine o valor médio de y no inter
59- Valor médio Uma força de retardamento, simbolizada pelo amortecedor na figura a seguir, freia o movimento da massa presa à mola, de modo que a posição da massa no instante t é: y = 2 e - t cos ⁡ t
Suponha f ´ ´ contínua em a , b . Verifique que f b = f a + f ´ a b - a + ∫ a b b - t f ´ ´ t d t
Suponha f ´ ´ ´ contínua em a , b . Conclua do Exercício 12 que f b = f a + f ´ a b - a + f ´ ´ a 2 b - a 2 +∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t
Calcule a integral usando integração por partes ∫ x 2 l n ⁡ ( x ) d x