Enunciado

Calcule a integral:

int t sen h m t d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e hiperbólica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,sen h m t d t,v,=,,?],[u,=,t,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica\Hiperbólica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,senh m t d t,v,=,int senh m t d t,=,(cosh m t)/(m),+,C,,,,,,,,m,!=,0],[u,=,t,d,u,=,,1,d,t]]

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace t) underset(d v)(ubrace senh m t d t) = underset(u)(ubrace t) underset(v)(ubrace ((cosh m t)/(m))) - int underset(v)(ubrace (cosh m t)/(m)) underset(d u)(ubrace 1 d t)

int t senh m t d t = (t cosh m t)/(m) - (1)/(m) int cosh m t d t = (t cosh m t)/(m) - (1)/(m) ((senh m t)/(m)) + C

int t senh m t d t = (t cosh m t)/(m) - (senh m t)/(m^2) + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int t senh m t d t = (t cosh m t)/(m) - (senh m t)/(m^2) + C

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