Esboce o gráfico da função y = y(x), x ∈ R Sabendo que

b) (d^2y)/(dx^2) = e^(-x), y(0) = 0 e y'(0) = -1

Passo 1

Sendo a segunda derivada:

d 2 y d x 2 = e - x

Ou seja, a primitiva de d 2 y d x 2

d y d x = ∫ e - x d t

Usando a substituição u = - x → d u = - x d x , teremos:

- ∫ e u d u = - e u + k

Voltando pra variável x :

- e u + k = - e - x + k

Passo 2

Agora precisamos de k

d y d x = - e - x + k

Pra isso vamos usar x = 0

d y d x 0 = - e - 0 + k = - 1 + k = k

O exercício nos deu que d y d x 0 = 0 , então igualamos:

v 0 = - 1 = - 1 + k → k = 0

Assim:

d y d x = - e - x

Passo 3

Se d y d x = - e - x

Então:

y x = ∫ - e - x d x

Vamos usar, novamente, a substituição u = - x → d u = - d x

- ∫ e - x d x = - ∫ - e u d u = e u + c

Voltando pra variável x :

e u + c = e - x + c

Assim:

y x = e - x + c

y 0 = e - 0 + c = 1 + c

E y 0 = 0

Assim, se igualarmos os valores de y 0 , teremos:

0 = 1 + c → c = - 1

Logo:

y x = e - x - 1

A função y = e x é assim:

Já se subtraírmos 1 o u   s e j a   y = e x - 1 fica assim:

Agora se substituirmos x   por – x , fica:

Assim fica o gráfico de y = e - x - 1

Resposta

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