Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 - ln ⁡ x + 3

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo 1 x n que tendem a zero para x → + ∞ , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos usar uma propriedade dos logaritmos:

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Assim:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 - ln ⁡ x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 x + 3

Vamos agora colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x x 1 + 3 x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + 1 x 1 + 3 x

Agora podemos aplicar o limite, lembrando que temos k x que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero k x vai está, onde k é uma constante:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + 1 x 1 + 3 x = ln ⁡ 2 + 0 1 + 0 = ln ⁡ 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 - ln ⁡ x + 3 = ln ⁡ 2

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