Determine o limite a seguir

lim θ → 0   ⁡ θ   c o t g   4 θ s e n 2 θ   c o t g 2   2 θ      

Passo 1

Já sabemos que

lim θ → 0 ⁡ s e n   θ θ = lim θ → 0 ⁡ θ s e n   θ = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Sabemos que

c o t g   θ = cos   θ sen ⁡ θ       ⁡  

𝐸ntão

lim θ → 0   ⁡ θ   c o t g   4 θ s e n 2 θ   c o t g 2   2 θ =     lim θ → 0   ⁡ θ   c o s   4 θ   s e n 2   2 θ s e n   4 θ   s e n 2 θ   c o s 2   2 θ      

Como

s e n   2 θ = 2 s e n   θ cos ⁡ θ

Teremos

    lim θ → 0   ⁡ θ   c o s   4 θ   2 s e n   θ cos ⁡ θ 2 s e n   4 θ   s e n 2 θ   c o s 2   2 θ =   lim θ → 0   ⁡ θ   c o s   4 θ   4 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ s e n   4 θ   s e n 2 θ   c o s 2   2 θ

Cortando o s e n 2 θ do numerador e denominador

lim θ → 0   ⁡ 4 θ   c o s   4 θ   cos 2 ⁡ θ s e n   4 θ   c o s 2   2 θ = lim θ → 0   ⁡ 4 θ   s e n   4 θ   .     c o s   4 θ   cos 2 ⁡ θ c o s 2   2 θ = 1   .   1   .     1 2 1 2 = 1

Resposta

1

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