Calcule.

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 tg ⁡ x sen ��� x

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = 3 x 2 tg ⁡ x sen ⁡ x quando x se aproxima de 0 .

Pra isso, vamos tentar reescrever a nossa função usando identidades trigonométricas, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Como a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, podemos reescrever o limite como:

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 tg ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x

Simplificando:

= lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ x sen 2 ⁡ x

Quando temos uma constante multiplicando a função no limite, podemos passar ela para fora:

3 lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ x sen 2 ⁡ x

Como o limite do produto é o produto dos limites temos:

3 ∙ lim x → 0 ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x

= 3 ∙ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x - 2 ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x

No caso do lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x - 2 podemos passar o expoente para fora, então:

= 3 ∙ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x - 2 ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x

Passo 3

Pelo limite fundamental, sabemos que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 . Logo:

= 3 ∙ 1 - 2 ∙ 1

= 3

Portanto,

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 tg ⁡ x sen ⁡ x = 3

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 tg ⁡ x sen ⁡ x = 3

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