lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 9 x sin ⁡ 7 x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites, após vamos multiplicar e dividir o limite por 9, 7 e x para em seguida aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 9 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 7 x

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 9 x ∙ 9 9 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 7 x ∙ 7 7 ∙ x x

9 7 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 9 x 9 x ∙ lim x → 0 ⁡ 7 x sin ⁡ 7 x

Passo 2

Agora vamos substituir 9x por u, 7x por t e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

9 x = u ,   7 x = t  

x → 0 ⇒ u → 0 ,   x → 0 ⇒ t → 0  

9 7 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim t → 0 ⁡ t sin ⁡ t

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 t e aplicar a propriedade da divisão de limites.

9 7 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim t → 0 ⁡ t sin ⁡ t ∙ 1 t 1 t

9 7 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ l i m t → 0   1 l i m t → 0 sin ⁡ t t

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 .

9 7 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ l i m t → 0   1 l i m t → 0 sin ⁡ t t

9 7 1 ∙ 1 1

9 7

Resposta

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 9 x sin ⁡ 7 x =   9 7

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