Calcule lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h sendo f dada por

f(x) = (2x)^2 + x

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f x = 2 x 2 + x no limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 2 x + h 2 + x + h - 2 x 2 + x h

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao quadrado:

lim h → 0 ⁡ 2 x + h 2 + x + h - 2 x 2 + x h = lim h → 0 ⁡ 2 x 2 + 2 x h + h 2 + x + h - 2 x 2 - x h = lim h → 0 ⁡ 2 x 2 + 4 x h + 2 h 2 + x + h - 2 x 2 - x h = lim h → 0 ⁡ 4 x h + 2 h 2 + h h

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

lim h → 0 ⁡ 4 x h + 2 h 2 + h h = lim h → 0 ⁡ h 4 x + 2 h + 1 h = lim h → 0 ⁡ 4 x + 2 h + 1

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

lim h → 0 ⁡ 4 x + 2 h + 1 = 4 x + 2 ∙ 0 + 1 = 4 x + 1

Resposta

lim h → 0 ⁡ 2 x + h 2 + x + h - 2 x 2 + x h = 4 x + 1

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