Enunciado

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (tg 3 x)/(sen 4 x)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = (tg 3 x)/(sen 4 x) quando x se aproxima de 0 .

Pra isso, vamos tentar reescrever a nossa função usando identidades trigonométricas, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, assim, podemos reescrever o limite como:

underset(x -> 0)(lim) (tg 3 x)/(sen 4 x) = underset(x -> 0)(lim) (((sen 3 x)/(cos 3 x)))/(sen 4 x)

= underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(sen 4 x cos 3 x)

Para que consigamos calcular o limite usando o limite fundamental, devemos multiplicar por x em ambos os termos da divisão:

= underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(sen 4 x cos 3 x) * (x)/(x)

= underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) * (x)/(sen 4 x) * (1)/(cos 3 x)

Passo 3

Como o limite do produto é o produto dos limites, temos:

underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) * underset(x -> 0)(lim) (x)/(sen 4 x) * underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos 3 x)

Assim, devemos calcular cada um dos limites.

Passo 4

Para underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) :

Podemos chamar h = 3 x , de modo que se x != 0 então h != 0 e, também, quando x tende a zero, h também tende a zero. Assim:

underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/((h)/(3))

= underset(h -> 0)(lim) 3 (sen h)/(h)

Quando temos uma constante multiplicando a função no limite, podemos passar ela para fora:

= 3 underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h)

Pelo limite fundamental, sabemos que underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1 então temos:

= 3 * 1 = 3

E encontramos underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) = 3 .

Passo 5

Agora para underset(x -> 0)(lim) (x)/(sen 4 x) :

Usamos a mesma ideia de substituição de variável. Fazendo w = 4 x => x = (w)/(4) , de modo que se x tende a zero, então w também tende a zero. Temos:

underset(x -> 0)(lim) (x)/(sen 4 x) = underset(w -> 0)(lim) ((w)/(4))/(sen w)

Colocando a constante do lado de fora:

= (1)/(4) underset(w -> 0)(lim) (w)/(sen w) = (1)/(4) underset(w -> 0)(lim) ((sen w)/(w))^(- 1)

= (1)/(4) (underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w))^(- 1)

E aplicando o limite:

= (1)/(4) * 1

Logo, encontramos underset(x -> 0)(lim) (x)/(sen 4 x) = (1)/(4) .

Passo 6

Por fim, para underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos 3 x) , podemos apenas aplicar o limite diretamente:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos 3 x) = (1)/(cos (3 * (0)))

= (1)/(cos 0)

= (1)/(1) = 1

E encontramos underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos 3 x) = 1 .

Passo 7

Voltando ao nosso limite original e substituindo os resultados que encontramos no produto, temos:

underset(x -> 0)(lim) (tg 3 x)/(sen 4 x) = underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) * underset(x -> 0)(lim) (x)/(sen 4 x) * underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos 3 x)

= 3 * (1)/(4) * 1

= (3)/(4)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (tg 3 x)/(sen 4 x) = (3)/(4)

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