Enunciado

Calcule o limite, se existir.

21) lim t → 9 ⁡ 9 - t 3 - t

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo belezinha?

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente calcular o limite da função

9 - t 3 - t

Quando t tende a 9 . Ou seja

lim t → 9 ⁡ 9 - t 3 - t

Para isso, a primeira coisa que temos que fazer é substituir o t por 9 na função e ver se é possível terminar o cálculo do limite. Se, por acaso, cairmos em alguma indeterminação matemática, teremos que modificar um pouco a função para conseguir calcular.

Vem comigo que te ajudo com isso no passo a passo.

Passo 2

Começamos calculando o limite com:

lim t → 9 ⁡ 9 - t 3 - t

= 9 - 9 3 - 9 = 0 0

Opa! Caímos mesmo em uma indeterminação do tipo 0 0 . Vamos tentar modificar um pouco essa função então para tentar recalcular.

Passo 3

Uma ferramenta que ajuda muito a gente são os produtos notáveis. Um deles é a diferença de quadrados, do tipo:

a 2 - b 2

Podemos adaptar um pouquinho nossa função, fazendo:

9 - t = 3 2 - t 2

Que pode ser escrito como:

( 3 - t ) ( 3 + t )

E olha como isso vai facilitar nossa vida. Com isso nosso limite pode ser escrito como:

lim t → 9 ⁡ 9 - t 3 - t

= lim t → 9 ⁡ 3 - t 3 + t 3 - t

E simplificando, teremos:

l i m t → 9 ( 3 + t )

Agora basta recalcularmos o limite.

Passo 4

Para calcular esse limite vamos usar a propriedade 2:

l i m t → 9 3 + t = l i m t → 9 3 + l i m t → 9 t

Além disso, vamos usar a propriedade de número 11:

l i m t → 9 3 + l i m t → 9 t = l i m t → 9 3 + l i m t → 9   t

Usando a de número 7 e 8:

l i m t → 9 3 + l i m t → 9   t = 3 + 9 = 3 + 3 = 6

E prontinho. Limite calculado.

Resposta

lim t → 9 ⁡ 9 - t 3 - t = 6

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