Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

lim x → 4 ⁡ x 2 + 3 x x 2 - x - 12

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite (se ele existir):

lim x → 4 ⁡ x 2 + 3 x x 2 - x - 12

Perceba que não podemos apenas fazer x = 4 pois o denominador resultaria em zero, ocasionando em uma indeterminação.

Assim, teremos que fazer algumas manipulações algébricas a fim de simplificar o nosso limite.

Em seguida, caso a indeterminação ainda continue, vamos analisar os limites laterais para verificar a existência dos limites.

Mas o que são os limites laterais???

Bom... os limites laterais descrevem o comportamento de uma função em relação a um ponto específico, considerando abordagens à direita e à esquerda desse ponto.

Por exemplo, se temos o seguinte limite:

lim x → a ⁡ f x

Temos os limites laterais à direita e à esquerda, respectivamente:

lim x → a + ⁡ f x e lim x → a + ⁡ f x

Assim, o limite lim x → a ⁡ f x só existirá se os seus limites laterais existirem e forem iguais!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Começaremos fatorando o numerador e o denominador, com isso, podemos reescrever o limite como:

lim x → 4 ⁡ x ( x + 3 ) ( x - 4 ) ( x + 3 )

Agora iremos simplificar o termo ( x + 3 ) que aparece no numerador e no denominador do limite, com isso, ficamos com:

lim x → 4 ⁡ x x - 4

Passo 3

Agora iremos substituir os valores para x , obtendo:

4 4 - 4 = 4 0

Com isso, podemos afirmar que a indeterminação ainda continua.

Então bora verificar se esse limite existe mesmo??

Passo 4

Vamos aplicar o limite lateral à esquerda para x x - 4 :

lim x → 4 - ⁡ x x - 4

Vamos verificar o que acontece com um número relativamente menor e próximo de 4 :

lim x → 4 - ⁡ x x - 4 = 3,999999 … 3,999999 … - 4

Perceba que o denominador será um número negativo e que tende a zero.

Assim, como o numerador é um número positivo, o limite resultará em um número que tende a menos infinito, ou seja:

lim x → 4 - ⁡ x x - 4 = - ∞

Passo 5

Agora, vamos fazer a mesma coisa para o limite lateral direito:

lim x → 4 + ⁡ x x - 4

Vamos verificar o que acontece com um número relativamente maior e próximo de 4 :

lim x → 4 + ⁡ x x - 4 = 4,0000001 … 4,0000001 … - 4

Perceba que o denominador será um número positivo e que tende a zero.

Assim, como o numerador é um número positivo, o limite resultará em um número que tende a mais infinito, ou seja:

lim x → 4 + ⁡ x x - 4 = + ∞

Dessa forma, como os limites laterais resultaram em valores diferentes, podemos concluir que o limite não existe para x → 4 .

Resposta

lim x → 4 ⁡ x 2 + 3 x x 2 - x - 12   não existe

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